总结一些积性函数的性质

  1. \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
    x=\prod p_i^{k_i}f(x)=\sum_{d|x}\mu(d)
    f(x)=\prod f(p_i^{k_i})
    单独考虑f(p_i^{k_i})=f(p_i)=\mu(1)+\mu(p_i)=0
    因此f(x)=0
  2. \mu^2(n)=\sum_{d^2|n}\mu(d)
    \mu^2(n)=1\Leftrightarrow n是无平方因子数
    i是无平方因子数时,\sum_{d^2|n}\mu(d)=\mu(1)=1
    否则,\sum_{d^2|n}\mu(d)。现在限定d是无平方因子数。
    n的次数\ge 2的质因子集合为S
    那么,\sum_{d^2|n}\mu(d)=\sum_{P\subset S}(-1)^{|P|}=0
  3. n=\sum_{d|n}\varphi(d)
    不会证明
  4. \sum_{i=1}^n[(n,i)=1]i=\frac {n\varphi(n)+[n=1]}{2}
    如果in互质,则(n,i)=(n,n-i)=1,即与n互质的数字成对出现且和为n。因此,对于n\ge 2的情况,有\frac {\varphi(n)}2对,结论就显然了。
  5. D(i)i的约数个数,则D(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]
    建立ij的约数d到有序数对(\gcd(i,d),\frac {d}{\gcd(i,d)})的映射。
    那么,一个与一个因数d构成映射的有序数对(a,b)满足a|i,b|j,\gcd(\frac ia,b)=1。而对于任意满足上述条件的数对,都可以反解出d来。
    因此,d与上述数对构成一一映射。
    \begin{aligned} D(ij)=&\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(\frac ix,y)=1]\\ =&\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1] \end{aligned}

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